quarta-feira, 24 de abril de 2013

Matemática Financeira: Equivalência


 

A equivalência está para a capitalização composta assim como a proporcionalidade está para a capitalização simples. Na capitalização simples para transformar uma taxa anual para uma taxa mensal basta dividir por doze, simples assim. Já na capitalização composta não funciona bem assim.
Não sei se ficou claro, mas tanto a proporcionalidade quanto a equivalência diz respeito a conversão das taxas de mês para ano ou de ano para mês e assim por diante.
No meio do pessoal que faz esse cálculo de equivalência é comum ouvir falar em capitalizar ou descapitalizar a taxa, que significa converter de uma unidade de tempo menor para maior ou de converter de uma unidade de tempo maior para uma menor, como de mês para ano ou de ano para mês.

Não é difícil calcular, basta fazer o seguinte exemplo: converter 8%a.a. para mês
Passo1: divide 8 por 100 = 0,08
Passo2: soma-se mais 1 = 1,08
Passo3: eleva-se esse valor a um doze avos, ou um dividido por doze (1/12) = 1,00643403
Passo4: diminui um desse valor = 0,00643403
Passo5: multiplica-se por cem = 0,6434%a.m.

Vamos analisar algumas situações para entender melhor a descapitalização da taxa:
8%a.a para semestre
=((((8/100)+1)^(1/2))-1)*100
Os parênteses onde está “1/2” significam que um ano tem dois semestres.
Resultado: 3,92% ao semestre

8%a.a para trimestre
=((((8/100)+1)^(1/4))-1)*100
Os parênteses onde está “1/4” significam que um ano tem quatro trimestres.
Resultado: 1,94% ao trimestre

8%a.a para mês
=((((8/100)+1)^(1/12))-1)*100
Os parênteses onde está “1/12” significam que um ano tem doze meses.
Resultado: 0,64% ao mês

3%a.s para bimestre
=((((3/100)+1)^(1/3))-1)*100
Os parênteses onde está “1/3” significam que um semestre tem três bimestre.
Resultado: 0,99% ao bimestre

15%a.a para dia
=((((15/100)+1)^(1/365))-1)*100
Os parênteses onde está “1/365” significam que um ano tem trezentos e sessenta e cinco dias.
Resultado: 0,04% ao dia

Usando esse raciocínio é possível calcular qualquer taxa para qualquer período. Se tiver uma taxa em década e quiser converter em minutos é possível. Basta fazer o cálculo de quantos minutos tem uma década, não teria muita utilidade, mas é só para ilustrar o que é possível fazer.

Para fazer o caminho contrário funciona quase da mesma forma: vamos supor uma taxa de 0,6434 ao mês e queremos converter ao ano.
Passo1: divide 0,6434 por 100 = 0,006434
Passo2: soma-se mais 1 = 1,0006434
Passo3: eleva-se esse valor a 12 = 1,0799
Passo4: diminui um desse valor = 0,0799
Passo5: multiplica-se por cem = 8% ao ano.

Vamos fazer alguns exemplos de descapitalização:
0,6434%a.m para ano
=((((0,6434/100)+1)^12)-1)*100
O expoente 12 significa a quantidade de meses que contém um ano.
Resultado: 8% a.a

0,04%a.d para ano
=((((0,04/100)+1)^365)-1)*100
O expoente 365 significa a quantidade de dias que contém um ano.
Resultado: 15,72% a.a

0,5%a.d para mês
=((((0,5/100)+1)^30)-1)*100
O expoente 30 significa a quantidade de dias que contém um mês.
Resultado: 16,14% a.m

Usando esse mesmo raciocínio é possível converter uma taxa de um dia para década. Novamente não tem muita utilidade, mas é só saber quantos dias contém uma década.


Resumindo tudo, quando dizemos que uma taxa equivale-se a outra, quer dizer que eu posso ter uma taxa mensal equivalente a uma taxa anual ou qualquer outra, que calculando dará o mesmo resultado.


Edvaldo Justo

Matemática Financeira: Proporcionalidade ou Taxas Proporcionais


São analisadas principalmente na forma de capitalização simples. E também é simples de entender.

Quando duas taxas diferentes com dois prazos iguais produzem o mesmo resultado.

Um exemplo bem simples:
12% a.a  =  1% a.m  - a conta é a mais óbvia possível, (12 / 12) onde, 12% dividido por 12 meses.
Vejam como ficam iguais os dois resultados seguintes:
Capital: 1.000,00
Taxa: 12% a.a
Tempo: 7 meses
Cálculo: (1000*(12/12)*7)
Total = 70,00
Capital: 1.000,00
Taxa: 1% a.m.
Tempo: 7 meses Cálculo: (1000*1*7)
Total = 70,00

Outro exemplo:
20% a.s  =  40% a.a  -  é só multiplicar por dois. 20% ao semestre, se o ano tem dois semestres, logo a taxa ao ano fica 40%.
Vejam como ficam iguais os dois resultados:
Capital: 1.000,00
Taxa: 20% a.s
Tempo: 1 ano
Cálculo: (1000*(20*2)*1)
Total = 400,00
Capital: 1.000,00
Taxa: 40% a.a.
Tempo: 1 ano
Cálculo: (1000*40*1)
Total = 400,00




Nota: Segue algumas convenções:
a.d = ao dia;
a.m = ao mês;
a.s = ao semestre;
a.a = ao ano. 




Edvaldo Justo


Matemática Financeira: Juros Simples x Juros Compostos


Juros Simples x Juros Compostos


Galera, eu não faço a matéria de matemática financeira, mas vi que alguns colegas estão com dificuldades sobre alguns assuntos, então resolvi falar sobre o assunto. Bom estudo.

O juro simples também é conhecido como “Capitalização Simples” e o juro composto também é conhecido como “Capitalização Composta”.
Para conseguirmos calcular quanto dará de juro em qualquer operação precisamos sempre dos componentes: CAPITAL, TAXA, TEMPO. Por convenção algumas definições existem para representar cada componente do cálculo de juro:
PV = Valor Presente (present value)
FV = Valor Futuro (future value)
N = Número de períodos ou então quantidade de meses/anos/semestres/trimestre e etc.
I = Taxa de Juro

A fórmula do cálculo do juro simples fica da seguinte maneira: formato Excel:
=PV * (1 + N * I)
ou então:
 =PV + (N * (PV * I))
Ambas são equivalentes.

A fórmula do cálculo do juro composto fica da seguinte maneira: formato Excel:
=PV * (1 + I)^N

Para explicar a diferença, entre simples e composta, vamos imaginar que você chegue a um banco e peça um empréstimo de R$ 1.000,00 pelo prazo de três meses, com uma taxa de 2% ao mês, e em seguida o atendente te diz: O método de capitalização desse empréstimo é simples/composta. E você pergunta: Qual a diferença?
Na capitalização simples:
Uma resposta simplista seria que a capitalização simples não cobra juro sobre os juros. Mas, utilizando o exemplo acima teremos o seguinte calculo de capitalização simples:
PV = 10.000,00
N = 3
I = 2%

=10.000,00 + (3 * (10.000,00 * 2%))
O resultado é R$ 10.600,00

Para entender melhor é como se você calculasse os 10.000, multiplicando, os 2% por 3 vezes, assim:
10.000,00 * 2% = 200
10.000,00 * 2% = 200
10.000,00 * 2% = 200
Totalizando 600,00 reais.
Aí se soma mais o capital que foi emprestado inicialmente que é de 10.000,00 e temos o resultado de 10.600,00.

Na capitalização composta:
Uma resposta simplista seria que são cobrados juros sobre juros. Utilizando ainda o exemplo acima temos o seguinte:
PV = 10.000,00
N = 3
I = 2%

=10.000,00 * (1 + 2%)^3
O resultado é de R$ 10.612,08, observe que o valor ficou maior que o do juro simples.

Para entender melhor é como se você calculasse 10.000,00 multiplicando por 2% no primeiro mês, e no segundo mês, ao invés de utilizar os 10.000,00, utilizasse o valor de 10.200,00, assim:
10.000,00 * 2% = 200,00
10.200,00 * 2% = 204,00
10.404,00 * 2% = 208,08
Observe que no primeiro cálculo foi usado apenas o capital, do segundo cálculo em diante o capital foi incorporando os juros obtidos.
Agora se soma os juros obtidos (200,00 + 204,00 + 208,08 = 612,08) com o capital tomado que foi de 10.000,00 totalizando 10.612,08.
Analisando a resposta simplista citada no início, observem que o juro gerado no primeiro mês gera juro no mês seguinte.

Nota: as fórmulas estão expressas no formato de planilha eletrônica, Excel. E o acento circunflexo é  equivalente ao “elevado” na matemática, como por exemplo: 2 elevado a 5, ou a quinta potência, é representado no Excel assim: =2^5.


Edvaldo Justo

Comentários e Email

Bom dia galera, hoje começam as provas do primeiro bimestre então sucesso pra todos.

Algumas pessoas não estavam conseguindo fazer comentários no blog em razão de uma opção de configuração que eu deixei de marcar, mas agora podem fazer comentário a vontade.

Existe uma opção que eu consigo mandar o conteúdo postado diretamente para o e-mail de vocês, uma pessoa já meu autorizou  que fosse incluída para receber, se mais alguém quiser, faça um comentário em algum post dizendo que quer receber e informe o e-mail obviamente hehehhee, blz.


REPITO: o conteúdo colocado nesse blog é único e exclusivamente produzido por mim, conforme o meu entendimento, com as minhas palavras, portanto pode, sem dúvida, existir algo que não seja exatamente o correto, vocês podem fazer comentários discordando do texto, sem problema algum.

Edvaldo Justo

terça-feira, 23 de abril de 2013

Estatística: Covariância e Correlação


CO-VARIÂNCIA
Eu entendi que esse cálculo mostra o comportamento entre duas séries de números, como por exemplo duas amostra de rentabilidade de dois títulos diferentes, exemplificando melhor ainda, é como termos na mão a rentabilidade das ações da empresa A e da empresa B dos últimos doze meses, aí então compararmos como uma se relaciona com a outra em relação ao comportamento. Com essa análise podemos responder algumas perguntas como: O desempenho de uma acompanha o desempenho da outra? Quando uma valoriza ou desvaloriza, a outra também valoriza ou desvaloriza? E assim por diante.

Como calcular a Co-variância?
Supomos a seguinte tabela como sendo a rentabilidade de duas ações de duas empresas diferentes num período de quatro meses:

Mês
Ações Empresa A
Ações Empresa B
Janeiro
1%
10%
Fevereiro
13%
90%
Março
3%
30%
Abril
4%
40%

Passo1: Calcular a média dos retornos da Empresa A e Empresa B
=(1+13+3+4)/4    - a divisão por 4 é porque são quatro meses.
Resultado da média da Empresa A: 5,25
=(10+90+30+40)/4  - a divisão por 4 é porque são quatro meses
Resultado da média da Empresa B: 42,50

Passo2: Para cada mês da Empresa A, faça o seguinte cálculo (média – rentabilidade do mês), assim:
5,25%     -    1%          =   4,25%
5,25%     -    13%        =   -7,75%
5,25%     -    3%          =   2,25%
5,25%     -    4%          =   1,25%

Passo3: Igualmente ao passo 2, faça o mesmo com a Empresa B, assim:
42,50%   -    10%        =   32,50%
42,50%   -    90%        =   -47,50%
42,50%   -    30%        =   12,50%
42,50%   -    40%        =   2,5%

Obs.: subentende-se que cada linha do passo 1 e passo 2 representam os meses, ou seja, primeira linha é janeiro, segunda linha é fevereiro e assim por diante.

Passo4: Multiplique os valores encontrados para Empresa A pelos valores encontrados para a Empresa B, assim:
4,25%     x   32,50%   =   1,38%
-7,75%    x   -47,50%  =   3,68%
2,25%     x   12,50%   =   0,28%
1,25%     x   2,5%       =   0,03%

Passo5: Some todos os valores encontrados no passo 4, assim:
1,38% + 3,68% + 0,28% + 5,34% = 10,69%

Passo6: Divida o valor encontrado no passo 5 pela quantidade de meses que estamos analisando, (jan, fev, mar, abr), são quatro meses, assim:
10,69% / 4 = 2,67%

RESULTADO: A co-variância dessas duas ações é de: 2,67%

Agora fica uma grande pergunta no ar: O que esse número representa para a minha análise?
O mais importante que aprender fazer o cálculo é saber interpretar o que o resultado quer dizer, visto que o cálculo pode ser feito por qualquer planilha eletrônica ou calculadoras financeiras.

Se a Co-variância for maior que zero, podemos concluir que:
Os dois títulos/ações estão diretamente relacionados.
Apresentam movimentos de mesma tendência.
A valorização/desvalorização de um reflete o mesmo comportamento no outro.
Por apresentarem movimentos na mesma direção, em situação de desvalorização, não haverá compensação entre eles, elevando o risco da carteira.
Caso o critério da escolha das ações de uma carteira seja a diversificação para se prevenir da perda, essas duas ações do exemplo citado (EMPRESA A e EMPRESA B) não são interessantes colocá-las juntas na mesma carteira.

Se a Co-variância for menor que zero, podemos concluir que:
Os títulos apresentam relações inversas.
O desempenho de um é o inverso do outro.
A valorização/desvalorização de um reflete o comportamento oposto no outro.
Por apresentarem movimentos opostos, geram uma posição de hedge para a carteira, reduzindo o risco da carteira, pois a desvalorização de um título representa a valorização do outro.
Resumindo, para quem quer mais segurança, ou quer montar uma carteira que não desvalorizarem tudo de uma só vez, é interessante colocar ações em que a co-variância seja menor que zero.

Se a Co-variância for igual a zero, podemos concluir que:
Não existe relação alguma entre as duas ações.

CORRELAÇÃO
Se no item de covariância eu disse que a forma, e porque não a fórmula, de calcular não era importante para a compreensão, no caso da correlação isso se acentua ainda mais, tanto que em lugar algum eu encontrei como calcular a correlação.
Para entender melhor vamos usar as mesmas informações do item de covariância (Empresa A e Empresa B).
Vamos começar assim: Analisando as duas séries de ações, nós queremos saber se as duas têm comportamentos iguais, diferentes ou se não existe relação alguma entre as duas.
Primeiramente é necessário encontrar o índice de correlação das duas séries, para isso entre no Excel e use a fórmula =correl(). Supondo que a célula “Mês” esteja na célula “A1”, a fórmula fica assim:

=CORREL(B2:B5;C2:C5)
Resultado = 0,990447
Detalhe importante: esse número sempre estará no intervalo de (-1) e (+1).
A partir desse número encontrado é que nós conseguimos analisar e responder as perguntas descritas acima, da seguinte forma:
Quando a correlação for igual a 1:
Significa que as duas ações seguem exatamente e proporcionalmente a mesma direção, explicando melhor, quando uma sobe ou desce, a outra também sobe ou desce na mesma quantidade ou proporção.
Se as ações da Empresa A subirem 10% significa que as ações da Empresa B também sobem 10%, se as ações da Empresa A caírem 10% significa que as ações da Empresa B também caem  10%, e vice-versa.

Quando a Correlação for maior que 0:
É como no item anterior, porém com menos exatidão.
Quanto mais o índice de correlação estiver perto de zero, menos exatidão será, e vice-versa, quanto mais o índice de correlação estiver perto de um, mais exatidão será.
Resumindo mais ainda, supondo que o índice de correlação seja 0,001, significa que quando as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B também subirão, mas quase nada, ou quase insignificante. Supondo que o índice de correlação seja 0,999, significa que quando as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B também subirão, só que, quase na mesma proporção.
Observação, quando eu digo “ações subirem”, o mesmo vale se elas baixarem, não importa.

Quando a correlação for igual a 0:
Significa que as duas ações em questão não têm correlação alguma entre si. Se uma subir ou descer, nada influenciará na outra.

Quando a correlação for menor que 0:
Significa que as duas ações se comportam de forma inversa. Quando uma sobe a outra desce e quando uma desce a outra sobe.
Quanto mais perto de 0 (zero) for o índice de correlação, menor se será a intensidade da inversão. E quanto mais perto de -1 (menos um) for o índice de correlação, maior será a intensidade de inversão.
Supondo que o índice de correlação seja de -0,001, significa que quando as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B cairão com uma pequena intensidade. Supondo que o índice de correlação seja de -0,999 (quase -1), significa que quando as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B cairão quase na mesma proporção inversa.

Quando a correlação for igual a -1:
Significa que as ações das duas empresas se comportam de forma totalmente inversa. Se as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B cairão na mesma e exata proporção.
Simples assim: Empresa A sobe 3%, Empresa B cai 3%, como eu disse, de forma totalmente inversa, o contrário é verdadeiro.

Vamos fazer um exemplo real de comparação entre as rentabilidades de duas ações de duas empresas diferentes. Tomaremos a tabela abaixo para análise.

Empresa A
Empresa B
Var% A
Var% B
Jan
1,0%
1,0%


Fev
2,0%
2,0%
100,0%
100,0%
Mar
3,0%
3,0%
50,0%
50,0%
Abr
4,0%
4,0%
33,3%
33,3%
Mai
5,0%
5,0%
25,0%
25,0%
Jun
1,0%
1,0%
-80,0%
-80,0%
Jul
2,0%
2,0%
100,0%
100,0%
Ago
1,0%
1,0%
-50,0%
-50,0%

Para explicar a tabela acima, as colunas “Var% A” e “Var% B” representam o quanto variou as ações da Empresa A e da Empresa B. Observe que as duas colunas mostram que as ações subiram exatamente iguais em todos os meses.
A correlação dessa tabela é igual a 1 (um).

Empresa A
Empresa B
Var% A
Var% B
Jan
5,0%
10,0%


Fev
4,0%
12,0%
-20,00%
20,00%
Mar
3,0%
15,0%
-25,00%
25,00%
Abr
2,0%
20,0%
-33,33%
33,33%
Mai
1,0%
30,0%
-50,00%
50,00%
Jun
0,5%
45,0%
-50,00%
50,00%
Jul
5,0%
-359,2%
900,00%
-898,22%
Ago
4,0%
-431,0%
-20,00%
20,00%

A correlação dessa tabela acima é -1 (menos um) observe nas colunas de variação das ações A e B que se comportam de forma totalmente inversa, quando uma cai 20% a outra sobe 20% e vice-versa.

RESUMO DE VARIÂNCIA, CO-VARIÂNCIA E CORRELAÇÃO
O objetivo aqui é fazer uma comparação entre essas três ferramentas, coisa que eu não encontrei em nenhum lugar, mas cheguei a essa conclusão, como segue:

VARIÂNCIA: é apenas para saber se uma série de números possui mais dispersão do que a outra série, só isso, simples assim. A interpretação funciona assim, a série que possuir mais variação, significa que tem mais risco, ou é mais instável.

CO-VARIÂNCIA: é para saber como as duas séries se comportam, ou se preferirem, é para responder a seguinte pergunta: Quando uma sobe a outra também sobe? Ou, quando uma sobe a outra desce? E assim por diante. Porém, não é possível saber com que intensidade elas se interferem uma na outra. Vamos exemplificar melhor: supondo que nós chegamos numa conclusão de que toda vez que a ação da Empresa A sobe, a ação da Empresa B também sobe, logo, sabemos que há uma tendência igual para as duas ações, mas nós não sabemos qual intensidade dessa tendência. A co-variância não consegue me responder se quando a ação da Empresa A sobe, a ação da Empresa B sobe pouquinho ou muito. Quem consegue me responder essa pergunta é a Correlação, no próximo tópico.

CORRELAÇÃO: tem as mesmas propriedades da co-variância, porém com mais precisão na informação. Quando calculamos o índice de correlação, o número encontrado sempre está no intervalo entre -1 (menos um) e 1 (um positivo). Supomos que nós calculamos o índice de correlação das ações da Empresa A e da Empresa B, e que o índice encontrado foi de 0,99. Com esse resultado nós podemos responder duas perguntas (a primeira pergunta a co-variância também pode responder, porém a segunda não): Quando a ação da Empresa A sobe, a ação da Empresa B também sobe? RESPOSTA: SIM. Com que intensidade a ação da Empresa B sobe em relação à ação da Empresa A? RESPOSTA: QUASE NA MESMA INTENSIDADE, pois o índice encontrado está muito próximo de 1 (um positivo).



Edvaldo Justo