Estatística: Covariância e Correlação

CO-VARIÂNCIA

Eu entendi que esse cálculo mostra o comportamento entre duas séries de números, como por exemplo duas amostra de rentabilidade de dois títulos diferentes, exemplificando melhor ainda, é como termos na mão a rentabilidade das ações da empresa A e da empresa B dos últimos doze meses, aí então compararmos como uma se relaciona com a outra em relação ao comportamento. Com essa análise podemos responder algumas perguntas como: O desempenho de uma acompanha o desempenho da outra? Quando uma valoriza ou desvaloriza, a outra também valoriza ou desvaloriza? E assim por diante.

Como calcular a Co-variância?

Supomos a seguinte tabela como sendo a rentabilidade de duas ações de duas empresas diferentes num período de quatro meses:

Mês	Ações Empresa A	Ações Empresa B
Janeiro	1%	10%
Fevereiro	13%	90%
Março	3%	30%
Abril	4%	40%

Passo1: Calcular a média dos retornos da Empresa A e Empresa B

=(1+13+3+4)/4    - a divisão por 4 é porque são quatro meses.

Resultado da média da Empresa A: 5,25

=(10+90+30+40)/4  - a divisão por 4 é porque são quatro meses

Resultado da média da Empresa B: 42,50

Passo2: Para cada mês da Empresa A, faça o seguinte cálculo (média – rentabilidade do mês), assim:

5,25%     -    1%          =   4,25%

5,25%     -    13%        =   -7,75%

5,25%     -    3%          =   2,25%

5,25%     -    4%          =   1,25%

Passo3: Igualmente ao passo 2, faça o mesmo com a Empresa B, assim:

42,50%   -    10%        =   32,50%

42,50%   -    90%        =   -47,50%

42,50%   -    30%        =   12,50%

42,50%   -    40%        =   2,5%

Obs.: subentende-se que cada linha do passo 1 e passo 2 representam os meses, ou seja, primeira linha é janeiro, segunda linha é fevereiro e assim por diante.

Passo4: Multiplique os valores encontrados para Empresa A pelos valores encontrados para a Empresa B, assim:

4,25%     x   32,50%   =   1,38%

-7,75%    x   -47,50%  =   3,68%

2,25%     x   12,50%   =   0,28%

1,25%     x   2,5%       =   0,03%

Passo5: Some todos os valores encontrados no passo 4, assim:

1,38% + 3,68% + 0,28% + 5,34% = 10,69%

Passo6: Divida o valor encontrado no passo 5 pela quantidade de meses que estamos analisando, (jan, fev, mar, abr), são quatro meses, assim:

10,69% / 4 = 2,67%

RESULTADO: A co-variância dessas duas ações é de: 2,67%

Agora fica uma grande pergunta no ar: O que esse número representa para a minha análise?

O mais importante que aprender fazer o cálculo é saber interpretar o que o resultado quer dizer, visto que o cálculo pode ser feito por qualquer planilha eletrônica ou calculadoras financeiras.

Se a Co-variância for maior que zero, podemos concluir que:

Os dois títulos/ações estão diretamente relacionados.

Apresentam movimentos de mesma tendência.

A valorização/desvalorização de um reflete o mesmo comportamento no outro.

Por apresentarem movimentos na mesma direção, em situação de desvalorização, não haverá compensação entre eles, elevando o risco da carteira.

Caso o critério da escolha das ações de uma carteira seja a diversificação para se prevenir da perda, essas duas ações do exemplo citado (EMPRESA A e EMPRESA B) não são interessantes colocá-las juntas na mesma carteira.

Se a Co-variância for menor que zero, podemos concluir que:

Os títulos apresentam relações inversas.

O desempenho de um é o inverso do outro.

A valorização/desvalorização de um reflete o comportamento oposto no outro.

Por apresentarem movimentos opostos, geram uma posição de hedge para a carteira, reduzindo o risco da carteira, pois a desvalorização de um título representa a valorização do outro.

Resumindo, para quem quer mais segurança, ou quer montar uma carteira que não desvalorizarem tudo de uma só vez, é interessante colocar ações em que a co-variância seja menor que zero.

Se a Co-variância for igual a zero, podemos concluir que:

Não existe relação alguma entre as duas ações.

CORRELAÇÃO

Se no item de covariância eu disse que a forma, e porque não a fórmula, de calcular não era importante para a compreensão, no caso da correlação isso se acentua ainda mais, tanto que em lugar algum eu encontrei como calcular a correlação.

Para entender melhor vamos usar as mesmas informações do item de covariância (Empresa A e Empresa B).

Vamos começar assim: Analisando as duas séries de ações, nós queremos saber se as duas têm comportamentos iguais, diferentes ou se não existe relação alguma entre as duas.

Primeiramente é necessário encontrar o índice de correlação das duas séries, para isso entre no Excel e use a fórmula =correl(). Supondo que a célula “Mês” esteja na célula “A1”, a fórmula fica assim:

=CORREL(B2:B5;C2:C5)

Resultado = 0,990447

Detalhe importante: esse número sempre estará no intervalo de (-1) e (+1).

A partir desse número encontrado é que nós conseguimos analisar e responder as perguntas descritas acima, da seguinte forma:

Quando a correlação for igual a 1:

Significa que as duas ações seguem exatamente e proporcionalmente a mesma direção, explicando melhor, quando uma sobe ou desce, a outra também sobe ou desce na mesma quantidade ou proporção.

Se as ações da Empresa A subirem 10% significa que as ações da Empresa B também sobem 10%, se as ações da Empresa A caírem 10% significa que as ações da Empresa B também caem  10%, e vice-versa.

Quando a Correlação for maior que 0:

É como no item anterior, porém com menos exatidão.

Quanto mais o índice de correlação estiver perto de zero, menos exatidão será, e vice-versa, quanto mais o índice de correlação estiver perto de um, mais exatidão será.

Resumindo mais ainda, supondo que o índice de correlação seja 0,001, significa que quando as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B também subirão, mas quase nada, ou quase insignificante. Supondo que o índice de correlação seja 0,999, significa que quando as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B também subirão, só que, quase na mesma proporção.

Observação, quando eu digo “ações subirem”, o mesmo vale se elas baixarem, não importa.

Quando a correlação for igual a 0:

Significa que as duas ações em questão não têm correlação alguma entre si. Se uma subir ou descer, nada influenciará na outra.

Quando a correlação for menor que 0:

Significa que as duas ações se comportam de forma inversa. Quando uma sobe a outra desce e quando uma desce a outra sobe.

Quanto mais perto de 0 (zero) for o índice de correlação, menor se será a intensidade da inversão. E quanto mais perto de -1 (menos um) for o índice de correlação, maior será a intensidade de inversão.

Supondo que o índice de correlação seja de -0,001, significa que quando as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B cairão com uma pequena intensidade. Supondo que o índice de correlação seja de -0,999 (quase -1), significa que quando as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B cairão quase na mesma proporção inversa.

Quando a correlação for igual a -1:

Significa que as ações das duas empresas se comportam de forma totalmente inversa. Se as ações da Empresa A subirem, as ações da Empresa B cairão na mesma e exata proporção.

Simples assim: Empresa A sobe 3%, Empresa B cai 3%, como eu disse, de forma totalmente inversa, o contrário é verdadeiro.

Vamos fazer um exemplo real de comparação entre as rentabilidades de duas ações de duas empresas diferentes. Tomaremos a tabela abaixo para análise.

	Empresa A	Empresa B	Var% A	Var% B
Jan	1,0%	1,0%
Fev	2,0%	2,0%	100,0%	100,0%
Mar	3,0%	3,0%	50,0%	50,0%
Abr	4,0%	4,0%	33,3%	33,3%
Mai	5,0%	5,0%	25,0%	25,0%
Jun	1,0%	1,0%	-80,0%	-80,0%
Jul	2,0%	2,0%	100,0%	100,0%
Ago	1,0%	1,0%	-50,0%	-50,0%

Para explicar a tabela acima, as colunas “Var% A” e “Var% B” representam o quanto variou as ações da Empresa A e da Empresa B. Observe que as duas colunas mostram que as ações subiram exatamente iguais em todos os meses.

A correlação dessa tabela é igual a 1 (um).

	Empresa A	Empresa B	Var% A	Var% B
Jan	5,0%	10,0%
Fev	4,0%	12,0%	-20,00%	20,00%
Mar	3,0%	15,0%	-25,00%	25,00%
Abr	2,0%	20,0%	-33,33%	33,33%
Mai	1,0%	30,0%	-50,00%	50,00%
Jun	0,5%	45,0%	-50,00%	50,00%
Jul	5,0%	-359,2%	900,00%	-898,22%
Ago	4,0%	-431,0%	-20,00%	20,00%

A correlação dessa tabela acima é -1 (menos um) observe nas colunas de variação das ações A e B que se comportam de forma totalmente inversa, quando uma cai 20% a outra sobe 20% e vice-versa.

RESUMO DE VARIÂNCIA, CO-VARIÂNCIA E CORRELAÇÃO

O objetivo aqui é fazer uma comparação entre essas três ferramentas, coisa que eu não encontrei em nenhum lugar, mas cheguei a essa conclusão, como segue:

VARIÂNCIA: é apenas para saber se uma série de números possui mais dispersão do que a outra série, só isso, simples assim. A interpretação funciona assim, a série que possuir mais variação, significa que tem mais risco, ou é mais instável.

CO-VARIÂNCIA: é para saber como as duas séries se comportam, ou se preferirem, é para responder a seguinte pergunta: Quando uma sobe a outra também sobe? Ou, quando uma sobe a outra desce? E assim por diante. Porém, não é possível saber com que intensidade elas se interferem uma na outra. Vamos exemplificar melhor: supondo que nós chegamos numa conclusão de que toda vez que a ação da Empresa A sobe, a ação da Empresa B também sobe, logo, sabemos que há uma tendência igual para as duas ações, mas nós não sabemos qual intensidade dessa tendência. A co-variância não consegue me responder se quando a ação da Empresa A sobe, a ação da Empresa B sobe pouquinho ou muito. Quem consegue me responder essa pergunta é a Correlação, no próximo tópico.

CORRELAÇÃO: tem as mesmas propriedades da co-variância, porém com mais precisão na informação. Quando calculamos o índice de correlação, o número encontrado sempre está no intervalo entre -1 (menos um) e 1 (um positivo). Supomos que nós calculamos o índice de correlação das ações da Empresa A e da Empresa B, e que o índice encontrado foi de 0,99. Com esse resultado nós podemos responder duas perguntas (a primeira pergunta a co-variância também pode responder, porém a segunda não): Quando a ação da Empresa A sobe, a ação da Empresa B também sobe? RESPOSTA: SIM. Com que intensidade a ação da Empresa B sobe em relação à ação da Empresa A? RESPOSTA: QUASE NA MESMA INTENSIDADE, pois o índice encontrado está muito próximo de 1 (um positivo).

Edvaldo Justo

Estatística: Variância e Desvio-Padrão

Medidas de Dispersão: Variância x Desvio-Padrão

A dispersão é o quanto os números de um mesmo intervalo estão longe do centro (média). Por exemplo: um intervalo de números pode me exibir uma média “20”, porém, esse intervalo possui números como “600”, “3”, “1.000”, isso é uma grande dispersão. Outro exemplo com a mesma média “20” é um intervalo com exatamente os números “19”, “20” e “21”, nesse caso quase não houve dispersão, pois os números estão todos próximos da média.

Intervalos de amostragem:

	Coluna 1	Coluna 2	Coluna 3
	1	2	110
	2	1	115
	50	2	120
	60	1	125
	70	704	125
	537	10	125
Médias:	120	120	120

A Variância é utilizada para analisar dois ou mais intervalos de números que obtém o mesmo valor de média. É como um termômetro para medir se aqueles intervalos possuem mais ou menos dispersão. Na tabela acima observe que apesar dos valores das três colunas serem diferentes, a média aritmética é exatamente igual.

Resumindo, a variância serve para responder a seguinte pergunta: Qual das colunas do exemplo acima os números mais se aproximam do valor da média? (apesar de que eu fiz um exemplo que só olhando já é possível responder).

Vamos ao cálculo da variância da coluna1:

Passo1: Para cada número da coluna faça o seguinte:

=(nr – média)^2    - número menos o valor da média, e eleva ao quadrado

=(1 – 120)^2   - o resultado é: 14.161

Faça isso com todos os números da coluna.

Passo 2: Some todos os números obtidos e divida pela quantidade de números que aparece na coluna:

=(14.161 + 13.924 + 4.900 + 3.600 + 2.500 + 173.889)/6

O resultado é: 35.495,67    é o resultado final do cálculo, ou seja, essa é a variância da coluna1.

Para calcular a variância das outras duas colunas siga o mesmo procedimento usado na coluna 1. Os resultados das três variâncias são:

              Coluna1:      35.495,67

              Coluna2:      68.221,00

              Coluna3:            33,33

Um detalhe que eu concluo é que os valores obtidos com a variância se estiverem isolados não tem utilidade alguma e também que o valor em si não significa nada, é apenas para efeito de comparação. Supondo que alguém me mostre apenas a “coluna 3” e me diga: “Olha, essa tem variância 33,33”, isso não me dá informação alguma. Agora se me apresentar ao menos duas colunas e me disser: “Olha, a coluna um tem variância 35.495,67 e a coluna três tem variância de apenas 33,33”, aí sim é possível se fazer uma comparação. E repito, ambos os números não representam nada, ou seja, é apenas para saber qual número é maior que o outro.

Agora na prática como eu usaria essa informação? Vamos supor que as três colunas representassem a rentabilidade de três tipos de investimentos diferentes num prazo de seis meses. Nesse caso, qual é o investimento mais volátil (maior risco) e qual é o investimento mais estável (menor risco)? Com certeza o investimento com maior variância, ex.: coluna 2, é o mais arriscado e o investimento com menor variância, ex.: coluna 3, é o menos arriscado, pois apesar de ter suas altas e baixas não existe muita dispersão.

O Desvio-padrão, ao contrário da variância, tenta encontrar essa mesma dispersão, porém com mais realidade. Eu frisei duas vezes no texto acima que os números da variância encontrados não significavam nada e que serviam apenas para comparação sobre qual número é maior que o outro, que como resultado temos que um intervalo varia mais que o outro. Já o desvio-padrão tenta trazer esses números para a realidade, ou melhor dizendo, “quanto, em números reais, é essa dispersão?”.

Vamos a uma definição: O DESVIO-PADRÃO É CALCULADO A PARTIR DO VALOR DA VARIÂNCIA. O que isso quer dizer? Quer dizer que não existe um cálculo para a variância, como vimos antes, e outro cálculo para o valor-padrão. Se for melhor para entender, podemos dizer que para calcular o valor padrão, primeiro é necessário calcular a variância, ponto final!!

No cálculo da variância observe que nós elevamos ao quadrado a diferença do número com sua média, certo? (=(1 – 120)^2   - o resultado é: 14.161)

Para calcular o desvio-padrão basta extrairmos a raiz quadrada da variância. Simples assim.

Utilizando as variâncias das colunas temos:

Coluna1:        35.495,67            desvio-padrão: =raiz(35.495,67)          resultado: 188,40

Coluna2:        68.221,00            desvio-padrão: =raiz(68.221,00)          resultado: 261,19

Coluna3:               33,33            desvio-padrão: =raiz(33,33)                resultado: 5,77

Mas como eu interpreto esses novos números obtidos? Ou melhorando a pergunta, como eu interpreto o valor padrão?

Esses números nos diz o quanto os números da coluna estão dispersos em relação a média aritmética. Não entendeu nada? Vou explicar: Vamos utilizar a coluna 3.

Média da coluna 3 é igual a: 120

Desvio-Padrão é igual a: 5,77

Calculo1:  =120 + 5,77     resultado: 125,77

Cálculo2:  =120 – 5,77     resultado: 114,23

A interpretação fica da seguinte forma: “Na coluna 3 os valores variam, em média, entre 114,23 e 125,77”.

Eu falei “em média” por que não podemos afirmar que o maior número é 125,77 e o menor número é 114,23, aliás, isso é notável só de olhar para a coluna 3 lá em cima.

O desvio-padrão é usado para encontrar em qual faixa está centralizada a maioria dos números.

VARIÂNCIA

Se tivermos duas séries de números, podemos comparar qual delas possui mais variação em relação à média aritmética.

Supondo que esses números dessas séries sejam rentabilidade de dois investimentos diferentes. Podemos concluir que a série que tem maior variância também tem maior risco de mercado, pois oscila muito mais em relação à outra série.

DESVIO PADRÃO

Supondo que temos uma série de números representando as idades dos alunos de uma sala de aula.

O desvio padrão encontra a variação dessa série em relação a média aritmética, similar ao que acontece com a variância, porém com mais exatidão.

Exemplo:

Média aritmética da série: 20 anos

Desvio Padrão: -5 e +5  (isso significa que existem alunos com 15 anos (20 - 5) e também alunos com 25 anos (20 + 5).

Edvaldo Justo