Estatística: Variância e Desvio-Padrão

Medidas de Dispersão: Variância x Desvio-Padrão

A dispersão é o quanto os números de um mesmo intervalo estão longe do centro (média). Por exemplo: um intervalo de números pode me exibir uma média “20”, porém, esse intervalo possui números como “600”, “3”, “1.000”, isso é uma grande dispersão. Outro exemplo com a mesma média “20” é um intervalo com exatamente os números “19”, “20” e “21”, nesse caso quase não houve dispersão, pois os números estão todos próximos da média.

Intervalos de amostragem:

	Coluna 1	Coluna 2	Coluna 3
	1	2	110
	2	1	115
	50	2	120
	60	1	125
	70	704	125
	537	10	125
Médias:	120	120	120

A Variância é utilizada para analisar dois ou mais intervalos de números que obtém o mesmo valor de média. É como um termômetro para medir se aqueles intervalos possuem mais ou menos dispersão. Na tabela acima observe que apesar dos valores das três colunas serem diferentes, a média aritmética é exatamente igual.

Resumindo, a variância serve para responder a seguinte pergunta: Qual das colunas do exemplo acima os números mais se aproximam do valor da média? (apesar de que eu fiz um exemplo que só olhando já é possível responder).

Vamos ao cálculo da variância da coluna1:

Passo1: Para cada número da coluna faça o seguinte:

=(nr – média)^2    - número menos o valor da média, e eleva ao quadrado

=(1 – 120)^2   - o resultado é: 14.161

Faça isso com todos os números da coluna.

Passo 2: Some todos os números obtidos e divida pela quantidade de números que aparece na coluna:

=(14.161 + 13.924 + 4.900 + 3.600 + 2.500 + 173.889)/6

O resultado é: 35.495,67    é o resultado final do cálculo, ou seja, essa é a variância da coluna1.

Para calcular a variância das outras duas colunas siga o mesmo procedimento usado na coluna 1. Os resultados das três variâncias são:

              Coluna1:      35.495,67

              Coluna2:      68.221,00

              Coluna3:            33,33

Um detalhe que eu concluo é que os valores obtidos com a variância se estiverem isolados não tem utilidade alguma e também que o valor em si não significa nada, é apenas para efeito de comparação. Supondo que alguém me mostre apenas a “coluna 3” e me diga: “Olha, essa tem variância 33,33”, isso não me dá informação alguma. Agora se me apresentar ao menos duas colunas e me disser: “Olha, a coluna um tem variância 35.495,67 e a coluna três tem variância de apenas 33,33”, aí sim é possível se fazer uma comparação. E repito, ambos os números não representam nada, ou seja, é apenas para saber qual número é maior que o outro.

Agora na prática como eu usaria essa informação? Vamos supor que as três colunas representassem a rentabilidade de três tipos de investimentos diferentes num prazo de seis meses. Nesse caso, qual é o investimento mais volátil (maior risco) e qual é o investimento mais estável (menor risco)? Com certeza o investimento com maior variância, ex.: coluna 2, é o mais arriscado e o investimento com menor variância, ex.: coluna 3, é o menos arriscado, pois apesar de ter suas altas e baixas não existe muita dispersão.

O Desvio-padrão, ao contrário da variância, tenta encontrar essa mesma dispersão, porém com mais realidade. Eu frisei duas vezes no texto acima que os números da variância encontrados não significavam nada e que serviam apenas para comparação sobre qual número é maior que o outro, que como resultado temos que um intervalo varia mais que o outro. Já o desvio-padrão tenta trazer esses números para a realidade, ou melhor dizendo, “quanto, em números reais, é essa dispersão?”.

Vamos a uma definição: O DESVIO-PADRÃO É CALCULADO A PARTIR DO VALOR DA VARIÂNCIA. O que isso quer dizer? Quer dizer que não existe um cálculo para a variância, como vimos antes, e outro cálculo para o valor-padrão. Se for melhor para entender, podemos dizer que para calcular o valor padrão, primeiro é necessário calcular a variância, ponto final!!

No cálculo da variância observe que nós elevamos ao quadrado a diferença do número com sua média, certo? (=(1 – 120)^2   - o resultado é: 14.161)

Para calcular o desvio-padrão basta extrairmos a raiz quadrada da variância. Simples assim.

Utilizando as variâncias das colunas temos:

Coluna1:        35.495,67            desvio-padrão: =raiz(35.495,67)          resultado: 188,40

Coluna2:        68.221,00            desvio-padrão: =raiz(68.221,00)          resultado: 261,19

Coluna3:               33,33            desvio-padrão: =raiz(33,33)                resultado: 5,77

Mas como eu interpreto esses novos números obtidos? Ou melhorando a pergunta, como eu interpreto o valor padrão?

Esses números nos diz o quanto os números da coluna estão dispersos em relação a média aritmética. Não entendeu nada? Vou explicar: Vamos utilizar a coluna 3.

Média da coluna 3 é igual a: 120

Desvio-Padrão é igual a: 5,77

Calculo1:  =120 + 5,77     resultado: 125,77

Cálculo2:  =120 – 5,77     resultado: 114,23

A interpretação fica da seguinte forma: “Na coluna 3 os valores variam, em média, entre 114,23 e 125,77”.

Eu falei “em média” por que não podemos afirmar que o maior número é 125,77 e o menor número é 114,23, aliás, isso é notável só de olhar para a coluna 3 lá em cima.

O desvio-padrão é usado para encontrar em qual faixa está centralizada a maioria dos números.

VARIÂNCIA

Se tivermos duas séries de números, podemos comparar qual delas possui mais variação em relação à média aritmética.

Supondo que esses números dessas séries sejam rentabilidade de dois investimentos diferentes. Podemos concluir que a série que tem maior variância também tem maior risco de mercado, pois oscila muito mais em relação à outra série.

DESVIO PADRÃO

Supondo que temos uma série de números representando as idades dos alunos de uma sala de aula.

O desvio padrão encontra a variação dessa série em relação a média aritmética, similar ao que acontece com a variância, porém com mais exatidão.

Exemplo:

Média aritmética da série: 20 anos

Desvio Padrão: -5 e +5  (isso significa que existem alunos com 15 anos (20 - 5) e também alunos com 25 anos (20 + 5).

Edvaldo Justo