Matemática Financeira: Equivalência

 

A equivalência está para a capitalização composta assim como a proporcionalidade está para a capitalização simples. Na capitalização simples para transformar uma taxa anual para uma taxa mensal basta dividir por doze, simples assim. Já na capitalização composta não funciona bem assim.

Não sei se ficou claro, mas tanto a proporcionalidade quanto a equivalência diz respeito a conversão das taxas de mês para ano ou de ano para mês e assim por diante.

No meio do pessoal que faz esse cálculo de equivalência é comum ouvir falar em capitalizar ou descapitalizar a taxa, que significa converter de uma unidade de tempo menor para maior ou de converter de uma unidade de tempo maior para uma menor, como de mês para ano ou de ano para mês.

Não é difícil calcular, basta fazer o seguinte exemplo: converter 8%a.a. para mês

Passo1: divide 8 por 100 = 0,08

Passo2: soma-se mais 1 = 1,08

Passo3: eleva-se esse valor a um doze avos, ou um dividido por doze (1/12) = 1,00643403

Passo4: diminui um desse valor = 0,00643403

Passo5: multiplica-se por cem = 0,6434%a.m.

Vamos analisar algumas situações para entender melhor a descapitalização da taxa:

8%a.a para semestre

=((((8/100)+1)^(1/2))-1)*100

Os parênteses onde está “1/2” significam que um ano tem dois semestres.

Resultado: 3,92% ao semestre

8%a.a para trimestre

=((((8/100)+1)^(1/4))-1)*100

Os parênteses onde está “1/4” significam que um ano tem quatro trimestres.

Resultado: 1,94% ao trimestre

8%a.a para mês

=((((8/100)+1)^(1/12))-1)*100

Os parênteses onde está “1/12” significam que um ano tem doze meses.

Resultado: 0,64% ao mês

3%a.s para bimestre

=((((3/100)+1)^(1/3))-1)*100

Os parênteses onde está “1/3” significam que um semestre tem três bimestre.

Resultado: 0,99% ao bimestre

15%a.a para dia

=((((15/100)+1)^(1/365))-1)*100

Os parênteses onde está “1/365” significam que um ano tem trezentos e sessenta e cinco dias.

Resultado: 0,04% ao dia

Usando esse raciocínio é possível calcular qualquer taxa para qualquer período. Se tiver uma taxa em década e quiser converter em minutos é possível. Basta fazer o cálculo de quantos minutos tem uma década, não teria muita utilidade, mas é só para ilustrar o que é possível fazer.

Para fazer o caminho contrário funciona quase da mesma forma: vamos supor uma taxa de 0,6434 ao mês e queremos converter ao ano.

Passo1: divide 0,6434 por 100 = 0,006434

Passo2: soma-se mais 1 = 1,0006434

Passo3: eleva-se esse valor a 12 = 1,0799

Passo4: diminui um desse valor = 0,0799

Passo5: multiplica-se por cem = 8% ao ano.

Vamos fazer alguns exemplos de descapitalização:

0,6434%a.m para ano

=((((0,6434/100)+1)^12)-1)*100

O expoente 12 significa a quantidade de meses que contém um ano.

Resultado: 8% a.a

0,04%a.d para ano

=((((0,04/100)+1)^365)-1)*100

O expoente 365 significa a quantidade de dias que contém um ano.

Resultado: 15,72% a.a

0,5%a.d para mês

=((((0,5/100)+1)^30)-1)*100

O expoente 30 significa a quantidade de dias que contém um mês.

Resultado: 16,14% a.m

Usando esse mesmo raciocínio é possível converter uma taxa de um dia para década. Novamente não tem muita utilidade, mas é só saber quantos dias contém uma década.

Resumindo tudo, quando dizemos que uma taxa equivale-se a outra, quer dizer que eu posso ter uma taxa mensal equivalente a uma taxa anual ou qualquer outra, que calculando dará o mesmo resultado.

Edvaldo Justo